Question

21、如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上的一點，PC與⊙O分別相交于點E和點C，過點C作CD⊥AB，交AB于點F，交⊙O于點D，連接PD．
（1）求證：PC=PD；
（2）如果PE的長等于⊙O的半徑，∠APC=20°，求∠AOC的度數．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理，易得CF=DF，即PA垂直平分CD，根據垂直平分線的性質即可證得PC=PD；
（2）連接OE，則△COE、△OEP都是等腰三角形，即可求得∠OEP的度數，根據三角形的外角性質可求得∠OCE、∠OEC的度數；而∠APC是△OCP的外角，則∠AOC=∠OCP+∠OPC，由此得解．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴CF=DF．（3分）
∴PC=PD．（2分）

（2）解：連接OE，（1分）
∵PE=OE=OC，∠APC=20°
∴∠EOP=∠APC=20°，∠OCP=∠OEC=40°．（2分）
∴∠AOC=∠OCP+∠APC=20°+40°=60°．（2分）

點評：此題主要考查了垂徑定理、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及三角形的外角性質，綜合性較強，難度適中．