Question

若關于x的方程

2k

x-1

-

x

x2-x

=

kx+1

x

只有一個解（相等的解也算作一個），試求k的值與方程的解．

Answer 1

分析：先將分式方程轉化為整式方程，把分式方程解的討論轉化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內涵豐富，在全面分析的基礎上求出k的值．

解答：解：原方程化為kx²+（2-3k）x-1=0①．
（1）當k=0時，原方程有一個解，x=

1

2

；
（2）當k≠0時，方程①△=5k²+4（k-1）²＞0，總有兩個不同的實數根，
由題意知必有一個根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1，顯然0不是①的根，
故x=1，得k=

1

2

．
綜上可知當k=0時，原方程有一個解，x=

1

2

；
k=

1

2

時，x=-2．

點評：本題考查了解分式方程．注意：分式方程轉化為整式方程不一定是等價轉化，有可能產生增根，分式方程只有一個解，可能是轉化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析．