Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點，點P從點A開始沿AC方向以每秒cm的速度運動，同時，點Q從點D出發沿DB方向以每秒1cm的速度運動，當點P到達點C時，P，Q同時停止運動，設運動的時間為x秒．
（1）當點P在線段AO上運動時．
①請用含x的代數式表示OP的長度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）顯然，當x=0時，四邊形PBEQ即梯形ABED，請問，當P在線段AC的其他位置時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據菱形的性質求出OA的長度，再求出AP的長等于2x，OP的長即可求出；
②過E作EH⊥BD于H，表示出BQ的長等于2-x，分別求出△BPQ和△BEQ的面積，兩個三角形的面積之和就是四邊形PBEQ的面積為y．（2）根據梯形的定義，可以分三種情況討論：
①PQ∥BE時，因為∠EBQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
②PE∥BQ時，因為點E是CD的中點，所以點P是CO的中點，根據AP的長度等于速度乘以時間列出算式即可求出；
③EQ∥BP時，過E作EH⊥DO，垂足為H，得到△QEH與△BPO相似，再根據相似三角形對應邊成比例列出等式即可求出x的值．
解答：解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
∵AB=2，
∴OB=OD=1，OA=OC=，
∴OP=，（2分）
②過點E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線，
∴，
∵DQ=x，
∴BQ=2-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=×（2-x）（-2x）+×（2-x）×，
=；（3分）

（2）能成為梯形，分三種情況：

①當PQ∥BE時，∠PQO=∠DBE=30°，
∴，
即，
∴x=，
此時PB不平行QE，
∴x=時，四邊形PBEQ為梯形．（2分）

②當PE∥BQ時，P為OC中點，

∴AP=，即，
∴，
此時，BQ=2-x=≠PE，
∴x=時，四邊形PEQB為梯形．（2分）

③

當EQ∥BP時，過E作EH⊥DO，垂足為H，
∴△QEH∽△BPO，
∴，
∴，
∴x=1（x=0舍去），
此時，BQ不平行于PE，
∴x=1時，四邊形PEQB為梯形．（2分）
綜上所述，當x=、或1時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形．
點評：本題考查菱形的性質及梯形的判定方法，熟練掌握性質和定義是解本題的關鍵．本題還要注意說明以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形時，因為底邊不確定，所以一定要分情況討論．