Question

已知點O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點（M與點O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．
（1）當點M在線段OD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數量及位置關系？請判斷并直接寫出結果；
（2）當點M在線段OD的延長線上時（如圖2），（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由；
（3）在圖1中，若正方形ABCD的邊長為2，FD交ME于P，設線段DM的長為x，DP的長為y，求y關于x的函數關系式，并判斷線段DP的長是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖形，結合已知條件即可推出BM=DF，BM⊥DF；
（2）成立，根據正方形的性質，推出△ABM≌△ADF，根據正方形的性質推出∠BAM=∠DAF，△ABM≌△ADF，既而求出BM=DF，∠ABM=∠ADF，∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°即可；
（3）連接OA，根據題意，可得OA的長度，根據角之間的關系推出Rt△AOM∽△MDP，寫出對應邊的比例式，即可得出y關于x的解析式，然后根據二次函數的性質，求出y的最大值．

解答：解：（1）BM=DF，BM⊥DF．（2分）

（2）成立（如圖1）
∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，
∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，（4分）
∴∠BAM=∠DAF，
∴△ABM≌△ADF，（6分）
∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，
由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，
即BM⊥DF，（8分）

（3）連接AO，（如圖1）
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴AO⊥OD，且AO=OD=

1

2

BD=

2

，
∵∠OAM+∠OMA=90°，∠PMD+∠OMA=90°，
∴∠OAM=∠PMD，
∴Rt△AOM∽△MDP，
∴

AO

OM

=

MD

DP

，即

2

2 -x

=

x

y

，
∴y=

x( 2 -x)

2

=-

2

2

x2+x(0＜x＜

2

)，（12分）
當x=-

1

2×(- 2 2 )

=

2

2

時，
y有最大值y最大=-

-1

4×(- 2 2 )

=

2

4

．

4ac-b 2

4a

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、二次函數的最值、正方形的性質，解題的關鍵在于找到全等三角形和相似三角形，求出相關邊的值．