Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位的速度向點A移動，同時動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位的速度向O點移動，設(shè)點Q、P移動時間為t秒．
（1）求點A、B的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？
（3）求出（2）中當(dāng)以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似時，線段PQ的長度．

Answer 1

分析：（1）小題利用X軸 Y軸的坐標(biāo)特點代入y=-

4

3

x+8，即可求出點A、B的坐標(biāo)；
（2）（3）小題由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的長度，注意（2）（3）都有兩種情況．

解答：解：（1）y=-

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3

x+8，
當(dāng)x=0時，y=8，
當(dāng)y=0時，x=6，
答案為：點A的坐標(biāo)為：（6，0），點B的坐標(biāo)為：（0，8）．

（2）此題有兩種情況：
在△ABO中∠BOA=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，
∵∠BAO=∠BAO，BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t，
第一種情況：

AQ

AB

=

AP

AO

時，△AQP∽△ABO，
即

10-2t

10

=

t

6

，
解得：t=

30

11

，
第二種情況：
當(dāng)

AQ

AO

=

AP

AB

時△AQP∽△AOB，
即

10-2t

6

=

t

10

，
解得：t=

50

13

．
答案為：當(dāng)t為

30

11

或

50

13

時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似．

（3）∵以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，
當(dāng)t=

30

11

時，

PQ

8

=

30 11

6

，
 解得：PQ=

40

11

 當(dāng)t=

50

13

時，
 

PQ

8

=

50 13

10

，
 解得PQ=

40

13

，
答案為：當(dāng)以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似時，線段PQ的長度是

40

11

或

40

13

．

點評：解此題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到正確的比例式，難點是正確進行分類討論．此題題型較好，難度適中．