Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知條件求證；
（2）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得；
（3）①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．
②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．
③∠EFD=90°時，此種情況不存在．
解答：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（2）解：能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB=BC•tan30°=5=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD為菱形，則需AE=AD，
即t=10-2t，t=．
即當t=時，四邊形AEFD為菱形．
（3）解：①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．
即10-2t=2t，t=．
②∠DEF=90°時，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=t，t=4．
③∠EFD=90°時，此種情況不存在．
綜上所述，當t=或4時，△DEF為直角三角形．
點評：本題考查了菱形的性質，考查了菱形是平行四邊形，考查了菱形的判定定理，以及菱形與矩形之間的聯系．難度適宜，計算繁瑣．