Question

已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A、9
• B、3
• C、

  9

  4

• D、

  9

  2

Answer 1

分析：①在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²+BC²=AB²，三角形的面積=

1

2

×底×高；
②分別設以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形的底邊上的高分別為h₁，h₂，h₃，由等腰直角三角形“三線合一”的性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出斜邊上的高=

1

2

×斜邊的長；
③陰影部分的面積=三個等腰三角形的面積之和．

解答：解：設以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形的底邊上的高分別為h₁，h₂，h₃，
則h₁=

1

2

AC，h₂=

1

2

BC，h₃=

1

2

AB，
即：陰影部分的面積為：

1

2

×

1

2

×AC×AC+

1

2

×

1

2

×BC×BC+

1

2

×

1

2

×AB×AB=

1

4

（AC²+AB²+BC²），
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²+BC²=AB²，AB=3，
所以陰影部分的面積為：

1

4

×2AB²=

1

2

×3²=

9

2

，
故選D．

點評：本題主要考查運用勾股定理求出等腰直角三角形三條斜邊之間的關系，并利用此關系求出三個三角形面積之間的關系，進而求出總面積，陰影部分的面積=各個陰影部分的面積之和．