Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，則∠OCA的度數為    ；

（2）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）70°；（2）相切；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OA，根據圓周角定理可求得∠AOC的度數，再根據圓的基本性質即可求得結果；

（2）延長AO與⊙O相交于點E，連接EC．先根據圓周角定理求得∠ECA＝90°，再結合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可證得結論；    

（3）設OD與AB的交點為點G．根據垂徑定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，設OA＝x，根據勾股定理即可列方程求解．

（1）連接OA

∵∠ABC＝20°

∴∠AOC＝40°

∵OA=OC

∴∠OCA＝70°； 

（2）延長AO與⊙O相交于點E，連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ECA＝90°，

∴∠EAC＋∠AEC＝90°．

又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，

∴∠EAC＋∠CAD＝90°．

即OA⊥AD，而點A在⊙O上，

∴直線AD與⊙O相切；    

（3）設OD與AB的交點為點G．

∵OD⊥AB，

∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，

在Rt△ACG中，可得GC＝3．  

在Rt△OGA中，設OA＝x，

由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²  

解得x＝，即⊙O的半徑為．

考點：圓的綜合題

點評：圓的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.