Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求過A、F、C三點的拋物線解析式；
（2）設（1）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，若以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標；
（3）若動點P以每秒個單位長度的速度從C點出發沿CB 向終點B運動，同時動點Q從A點出發以每秒個單位長度的速度沿射線AO運動，當P運動到B點時，P，Q同時停止運動．當點P運動時間t（秒）為何值時，以P、C、O為頂點的三角形與以Q、O、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的邊長求得點F的坐標，利用待定系數法求得拋物線的解析式即可；
（2）首先求得拋物線與x軸的交點E的坐標，然后分當DN∥EM且DN=EM時和當M在E點右側時求得M、N的坐標即可；
（3）若以P、C、Q為頂點的三角形與△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，則有CQ=OP或OC²=CQ•OP．然后分當P、Q在y軸同側時和當P、Q在y軸異側時利用相似三角形的性質列出有關t的方程求解即可．
解答：解：（1）∵OA=，OC=1，
∴tan∠OAC=．
∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
過F作FM⊥OA于M，交CB于G，則FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=CF=OC=．
CG=．
∴F（，）…（2分）
設過 A、B、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c．
∴c=1
∴…（3分）
解之，得
∴．…（4分）

（2）∵由，得x₁=，x₂=．
∴E（，0）…（5分）
由，得x₁=0，x₂=．
∴D（，1）．…（6分）
①當DN∥EM且DN=EM時，當M在E點左側時，M₁（，0），此時N₁（0，1）…（7分）
當M在E點右側時，OM₂=．
∴M₂（，0），此時N₂（0，1）…（8分）
②當ED∥MN且ED=MN時，過D作DH⊥OA于H，M₃（，0），N₃（0，-1）…（9分）

（3）若以P、C、Q為頂點的三角形與△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，則有
CQ=OP或OC²=CQ•OP．
當P、Q在y軸同側時：
由，得t=．…（10分）
由，得  2t²-2t+1=0．
△=4-8=-4＜0，故無解．
當P、Q在y軸異側時：
由，得t=3＞，不合題意，舍去…（11分）
由，得2t²-2t-1=0.＜0舍去，

∴t=或…（12分）
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，往往是中考題的壓軸題，難度相對比較大．解決此類問題時充分考慮各種情況是解決此類題目的關鍵．