Question

如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去…，記正方形ABCD的邊長為a₁=1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a₂，a₃，a₄，…，a_n，則a₁₀₁=

 

．

Answer 1

分析：根據第一個正方形的邊長為1可以求得第二個正方形的邊長，以此類推可以求得正方形的邊長滿足一定的規律，根據次規律可以求得第101個正方形的邊長．

解答：解：∵a₁=1=(

2

)0，
∴a₂=

12+12

=

2

a₃=

( 2 )2+( 2 )2

=2=（

2

）²
a₄=

22+22

=2

2

=（

2

）³，
∴a_n=

2

^n-1，
∴a₁₀₁=（

2

）¹⁰⁰=2⁵⁰．
故答案為：2⁵⁰．

點評：本題考查了正方形的性質及勾股定理的知識，解題的關鍵是根據正方形的性質及勾股定理總結出正方形的邊長滿足的規律．