Question

將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF。將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O。

（1）當△DEF旋轉至如圖②位置，點B（E），C，D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數量關系是____。 （2）當△DEF 繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由； （3）在圖③中，連接BO，AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關系，并證明。

Answer 1

解：（1）相等； （2），理由如下： 由△ABC≌△DEF，得 AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF， ∴∠ABF=∠DEC， 在△ABF和△DEC中， ∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC， ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF， ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA， ∴∠AFD=∠DCA； （3）如圖， 由△ABC≌△DEF 點B與點E重合， 得 所以點B在AD的垂直平分線上， 且 ∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA， 所以OA=OD，點O在AD的垂直平分線上， ∴直線BO是AD的垂直平分線，。