Question

將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF．將這兩張三角形膠片重新擺放，使頂點B與頂點E重合，如圖②，這時AC與DF相交于點O．
（1）如圖②，點B（E），C，D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數量關系是

 

．
（2）在圖②中，將當△DEF繞點B順時針旋轉至如圖③位置，這時（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．
（3）在圖③中，連接BO，AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據外角的性質，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，從而得出∠AFD=∠DCA；
（2）成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．則△ABF≌△DEC，從而證出∠AFD=∠DCA；
（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進而證得點O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．

解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABF=∠DEC．
在△ABF和△DEC中，

AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC

∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF=∠EDC．
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA．
方法二：連接AD．同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
由△ABC≌△DEF，得FD=CA．
在△AFD和△DCA中，

AF=DC FD=CA AD=DA

∴△AFD≌△DCA（SSS），∠AFD=∠DCA．

（3）如圖，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，
得∠BAC=∠BDF，BA=BD．
∴點B在AD的垂直平分線上，
且∠BAD=∠BDA．
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上．
∴直線BO是AD的垂直平分線，BO⊥AD．
方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD．
在△ABO和△DBO中，

AB=DB BO=BO OA=OD

∴△ABO≌△DBO（SSS），∠ABO=∠DBO．
在△ABG和△DBG中，

AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG

∴△ABG≌△DBG（SAS），∠AGB=∠DGB=90°．
∴BO⊥AD．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質以及旋轉的性質，是基礎知識要熟練掌握．