Question

（2012•北京二模）已知：如圖，BP是正方形ABCD的一條外角平分線，點E在AB邊上，EP⊥ED，EP交BC邊于點F．
（1）若AE：EB=1：2，求cos∠BEP的值；
（2）請你在圖上作直線CM⊥DE，CM與直線AD交于點M，猜想：四邊形MEPC的形狀有什么特點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先利用已知得出∠BEP=∠BEF=∠ADE，進而得出AE：AB=AE：AD=1：3，即可求出cos∠BEP的值；
（2）首先利用已知得出△ADE≌△DCM，即可得出CM=DE，再得出△BEN∽△BAD，利用三角形全等關系得出△NED≌△BEP，即可得出DE=PE=CM，利用平行四邊形的判定得出四邊形MEPC是平行四邊形．

解答：解：（1）∵EP⊥ED，∴∠DEP=90°．
∴∠BEF=180°-∠DEP-∠AED=90°-∠AED．
又∵∠ADE=90°-∠AED，
∴∠BEP=∠BEF=∠ADE．
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=AE：AD=1：3．
不妨設AE=1，則AD=3，DE=

10

，cos∠ADE=

3

10

=

3 10

10

．
∴cos∠BEP=

3 10

10

．

（2）作圖符合題意，
猜想：四邊形MEPC是平行四邊形．
證明：∵CM⊥DE，EP⊥ED，∴CM∥EP．
∵∠DCM+∠NDC=90°，∠MDN+∠CDN=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△ADE和△DCM中，
∵

∠DCM=∠ADE CD=AD ∠CDM=∠A

∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE．
連接BD，作EN∥AD交BD于N，
則△BEN∽△BAD．
又∵四邊形ABCD是正方形，BP是外角平分線．
∴EN=EB，∠END=∠EBP=135°．
∵EN∥AD，∴∠NED=∠ADE=∠BEP．
在△NED和△BEP中，
∵

∠END=∠EBP NE=BE ∠NED=∠BEP

，
∴△NED≌△BEP（ASA）．
∴DE=PE=CM．
∴四邊形MEPC是平行四邊形．
（注：此題證明方法很多，不逐一列舉）

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和全等三角形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出正確輔助線得出DE=PE=CM是解題關鍵．