Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，以BC為邊向正方形內作等邊△BCE，連接AE、DE．

（1）請直接寫出∠AEB的度數，∠AEB＝　 　；

（2）將△AED沿直線AD向上翻折，得△AFD．求證：四邊形AEDF是菱形；

（3）連接EF，交AD于點 O，試求EF的長？

Answer 1

【答案】(1)75°;(2)證明見解析；（3）

【解析】

試題（1）由正方形和等邊三角形的性質得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出∠AEB的度數；

（2）先判斷出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性質即可得出結論；

（3）先由等邊三角形的性質求出EH，進而得出OE，借助（2）的結論即可求出EF．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，

∵△EBC是等邊三角形，

∴BE=BC，∠EBC=60°，

∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE，

∴∠AEB=∠BAE=（180°-30°）=75°；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，

∵△BCE為等邊三角形，

∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC，

∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE=ED，

∵△AED沿著AD翻折為△AFD，

∴AE=ED=AF=FD，

∴四邊形AEDF是菱形；

（3）如圖，

由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO，

∴EF⊥AD，過點E作EH⊥BC于H，

在等邊三角形BCE中，BC=2，

∴EH=BC=，

∴EO=OH-EH=AB-EH=2-，

∴EF=2EO=2（2-）=4-2．