Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，∠EDF=90°﹒現將∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F（如圖）．當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于E時，S_△ABC、S_△DEF、S_△CEF的數量關系是

 

；當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，S_△ABC、S_△DEF、S_△CEF的數量關系是

 

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Answer 1

分析：當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于E時，連接CD，即可證得：△CDE≌△BDF，則S_△DEF+S_△CEF=S_△CDE+S_△CDF=S_△BDF+S_△CDF=

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S_△ABC；
當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，連接CD，易得△CDE≌△BDF，則S_△CDE=S_△BDF，可以證得：S_△DEF=S_{多邊形CEFBD}，則S_△DEF-S_△CEF=S_△BCD=

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S_△ABC．

解答：（1）S_△DEF+S_△CEF=

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2

S_△ABC 仍然成立．
證明：當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于E時，連接CD．
∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC為等腰直角三角形．
又∵D為AB邊的中點，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
在△CDE與△BDF中，
∵

∠ECD=∠FBD CD=BD ∠CDE=∠BDF

，
∴△CDE≌△BDF，
∴S_△CDE=S_△BDF，
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△CDE+S_△CDF=S_△BDF+S_△CDF=S_△BCD=

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S_△ABC，
得證．

（2）當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，
猜想 S_△DEF+S_△CEF=

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S_△ABC，
證明：連接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S_△CDE=S_△BDF，
∴S_△DEF+S_△CEF=S_{四邊形DECF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△DBF+S_△CDF=S_△BCD，
又∵S_△BCD=

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S_△ABC，
則S_△DEF+S_△CEF=

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S_△ABC．
故答案是：S_△DEF+S_△CEF=

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S_△ABC，S_△DEF+S_△CEF=

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2

S_△ABC．

點評：本題主要考查了旋轉的性質，連接CD，證得△CDE≌△BDF是解決本題的關鍵．