Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（與點A，B不重合），過點C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

（1）求證：直線PQ是⊙O的切線．

（2）過點A作AD⊥PQ于點D，交⊙O于點E，若⊙O的半徑為2，sin∠DAC＝，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）﹣．

【解析】

（1）連接OC，由直徑所對的圓周角為直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性質及已知條件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切線的判定定理可得結論．

（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，從而可得∠ACD的 度數，進而判定△AEO為等邊三角形，則∠AOE的度數可得；利用S陰影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．

解：（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAB＝∠ACO．

∵∠ACQ＝∠ABC，

∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，

∴直線PQ是⊙O的切線．

（2）連接OE，

∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，

∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，

又∵OA＝OE，

∴△AEO為等邊三角形，

∴∠AOE＝60°．

∴S陰影＝S扇形﹣S△AEO

＝S扇形﹣OAOEsin60°

＝

＝．

∴圖中陰影部分的面積為﹣．