Question

如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D，E，過劣弧（不包括端點D，E）上任一點P作⊙O的切線MN與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為（ ）

A．r
B．r
C．2r
D．r

Answer 1

【答案】分析：連接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四邊形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根據切線長定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．
解答：解：連接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的內切圓，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四邊形ODBE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=OE=r，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，
∴MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周長為：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，
故選C．
點評：本題考查的知識點是矩形的判定、正方形的判定、三角形的內切圓和內心、切線長定理等，主要考查運用這些性質進行推理和計算的能力，題目比較好，難度也適中．