Question

【題目】設函數（其中k為常數）.

（1）當k=-2時，函數y存在最值嗎？若存在，請求出這個最值；

（2）在x＞0時，要使函數y的的值隨x的增大而減小，求k應滿足的條件；

（3）若函數y的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，求能使△ABC為等腰三角形的k的值.（分母保留根號，不必化簡）

Answer 1

【答案】（1）x=-時，y最大=；（2）k≤0；（3）k=3,k=，k=,k=-.

【解析】

試題分析：本題考查二次函數的有關知識、一次函數的有關知識，掌握函數的性質是解決問題的關鍵，學會分類討論的思想，屬于中考常考題型．

（1）把k=-2代入拋物線解析式得到y=-2x2-5x-3，根據頂點坐標公式即可解決．

（2）分兩種情形討論當k=0時，y=-3x-3為一次函數，k=-3＜0，則當x＞0時，y隨x的增大而減小；當k≠0時，y=（kx-3）（x+1）=kx2+（k-3）x-3為二次函數，由不等式組解決．

（3）分三種情形討論：當k＞0時①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分別列出方程解決；當k＜0時，B只能在A的左側，只有AC=AB列出方程解決，當k=0時，不合題意．

試題解析：（1）當k=-2時，函數y=（-2x-3）（x+1）=-（2x+3）（x+1），

函數為二次函數，且二次項系數小于0，故函數存在最大值，

當x=-時，y最大=；

（2）當k=0時，y=-3x-3為一次函數，-3＜0，則當x＞0時，y隨x的增大而減小；

當k≠0時，y=（kx-3）（x+1）為二次函數，其對稱軸為直線x==-，要使當x＞0時，y隨x的增大而減小，則拋物線的開口必定朝下，且對稱軸不在y軸的右邊.

故得，，

解得k＜0,

綜上所述，k應滿足的條件是：k≤0.

（3）由題意得，k≠0，函數為二次函數.

由所給的拋物線解析式可得A，C為定值A（-1,0），C（0，-3）則AC=，而B（，0）,

（1）k＞0，則可得,

①AC=BC，則有=，可得k=3,

②AC=AB，則有+1=，可得k=，

③AB=BC，則有+1=，可得k=,

④k＜0，B只能在A的左側,

只有AC=AB，則有--1=，可得k=-.