Question

2．如圖，在興趣活動課中，小明將一塊Rt△ABC的紙片沿著直線AD折疊，恰好使直角邊AC落在斜邊AB上，已知∠ACB=90°．
（1）若AC=3，BC=4時，求CD的長．
（2）若AC=3，∠B=30°時，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得AB=5，然后由翻折的性質可知AE=AC=3，CD=DE，然后在△BDE中由勾股定理可求得DE的長，從而得到CD的長；
（2）由題意可知∠CAB=60°，由翻折的性質可知∠CAD=30°，利用特殊銳角三角函數值可求得CD和AB的長，從而得到DE的長，最后利用三角形的面積公式可求得△ABD的面積．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
設CD=x則DB=4-x．
∵由翻折可得DE=CD=x，AE=AC=3，
∴BE=5-3=2．
在Rt△DEB中，由勾股定理得DB²=DE²+EB²，即（ 4-x ）²=2²+x²．
解得：x=1.5
∴CD=1.5．
（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴AB=2AC=6，∠CAB=60°．
由翻折的性質可知∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°．
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{CD}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得：CD=$\sqrt{3}$．
∴DE=CD=$\sqrt{3}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用、特殊銳角三角函數值，理由勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．