Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE，點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ⊥AB？
（2）當點Q在BE之間運動時，設五邊形PQBCD的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）在（2）的情況下，是否存在某一時刻t，使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=．
∵D、E分別是AC、AB的中點．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB

由題意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即，
解得t=；

（2）如圖②，過點P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得，
∴，得PM=（4-t）．
S_△PQE=EQ•PM=（5-2t）•（4-t）=t²-t+6，
S_梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18-（t²-t+6）=t²+t+12．

（3）假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，
則此時S_△PQE=S_梯形DCBE，
∴t²-t+6=×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=（舍去）．
當t=2時，
PM=×（4-2）=，ME=×（4-2）=，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQ•h=，
∴h=•=（或）．
分析：（1）如圖①所示，當PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關系（或三角函數）；
（2）本問關鍵是利用等式“五邊形PQBCD的面積=四邊形DCBE的面積-△PQE的面積”，如圖②所示．為求△PQE的面積，需要求出QE邊上的高，因此過P點作QE邊上的高，利用相似關系（△PME∽△ABC）求出高的表達式，從而問題解決；
（3）本問要點是根據題意，列出一元二次方程并求解．假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，則此時S_△PQE=S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時刻t；點E到PQ的距離h利用△PQE的面積公式得到．
點評：本題是動點型綜合題，解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法．所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度．注意題中求時刻t的方法：最終都是轉化為一元一次方程或一元二次方程求解．