Question

【題目】已知拋物線與坐標軸交于.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線與該拋物線交于點 （在的左側(cè)），記拋物線在直線下方的圖象為，在直線下方的圖象為，將圖象沿直線向下翻折得到圖象，圖象和圖象兩部分組成的圖象記為.

①設(shè)圖象的頂點為，當落在的邊上時，求實數(shù)的值.

②當時,設(shè)是圖象上的動點.

（i）連結(jié)，過線段的中點作軸的平行線交軸于點，當是以為直角頂點的直角角形時，直接寫出的值.

（ii）當時，的最小值為，直接寫出的最大值及相應的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）點Q的坐標為（1，5）或（1．-5）．

【解析】

（1）點A、B、C的坐標已知，只需運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB，從而有∠POB=∠PBO．由點Q在拋物線的對稱軸上可得QA=QB，從而有∠QAB=∠QBA．由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，從而可得點Q、P、B共線．由PO=PB可得點P在OB的垂直平分線上，從而可得xP= ，代入拋物線即可求出點P的坐標，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到點Q的坐標；

（1）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴ ，
解得 ．
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；
（2）∵四邊形POP′B為菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵點Q在拋物線的對稱軸上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴當Q點在x軸上方時，點Q、P、B共線．
∵PO=PB，

∴點P在OB的垂直平分線上，
∴xP=，
此時yP=- ，
點P的坐標為（）．
∵△QAB～△POB，
∴ ，
∵yP=，AB=4，OB=3，
∴ ，
∴|yQ|=5，
∴yQ=±5，
∵拋物線的對稱軸為x=-=1，
∴點Q的坐標為（1，5）或（1．-5）．