Question

【題目】如圖，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于點O，點M,N分別是線段AD,BE的中點，以下4個結論:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等邊三角形；④連OC,則OC平分∠AOE.正確的是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性質得到AD=BE；故①正確；
②設CD與BE交于F，根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根據平角的定義得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正確；
③根據全等三角形的性質得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根據線段的中點的定義得到AM=BN，根據全等三角形的性質得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等邊三角形，故③不符合題意；
④過C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根據全等三角形的性質得到CH=CG，根據角平分線的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正確．

解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正確；
②設CD與BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠CFE=∠DFO，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正確；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中

∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC不一定是等邊三角形，故③不符合題意；
④過C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，

∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，
∴△CGE≌△CHD（AAS），
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，故④正確，
故選：B．