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【題目】如圖,AB⊙O的弦,D為半徑OA的中點,過DCD⊥OA交弦AB于點E,交⊙O于點F,且BC⊙O的切線.

(1)求證:CE=CB;

(2)連接AF,BF,求∠ABF的正弦值;

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半徑.

【答案】(1)詳見解析;(2)∠ABF的正弦值是;(3)⊙O的半徑是

【解析】

(1)連接OB,由圓的半徑相等和切線的性質可得∠AED=CBE,即可證明CE=CB

(2)連接OFAFBF,可證OAF是等邊三角形,再利用圓周角定理可得∠ABF=30°,即可得出結論;

(3)過點CCGBE于點G,由CE=CB,可得EG=BE=5,再由RtADERtCGE和勾股定理即可得出結論.

(1)證明:連接OB如圖,

OA=OB

∴∠DAE=OBA

BC切⊙OB

∴∠OBC=90°,

∴∠OBA+CBE=90°,

DCOA

∴∠ADE=90°,

∴∠DAE+AED=90°,

∴∠AED=CBE=CEB

CE=CB

(2)解:連接OFAFBF如圖,

DA=DOCDOA

AF=OF

OA=OF

∴△OAF是等邊三角形,

∴∠AOF=60°,

∴∠ABF=AOF=30°,

即∠ABF的正弦值是

(3)過點CCGBE于點G,由CE=CB如圖

EG=BE=5,
RtADERtCGE
sinECG=sinA=


又∵CD=15,CE=13,
DE=2,
RtADERtCGE


,∴⊙O的半徑為

練習冊系列答案
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【題目】等腰RtABC中,BAC90°ABAC,A、點B分別是y軸、x軸上兩個動點,直角邊ACx軸于點D,斜邊BCy軸于點E

1)如圖(1),已知C點的橫坐標為-1,直接寫出點A的坐標;

2)如圖(2), 當等腰RtABC運動到使點D恰為AC中點時,連接DE,求證:ADBCDE

(3)如圖(3), 若點Ax軸上,且A-40),點By軸的正半軸上運動時,分別以OBAB為直角邊在第一、二象限作等腰直角BOD和等腰直角ABC,連結CDy軸于點P,問當點By軸的正半軸上運動時,BP的長度是否變化?若變化請說明理由,若不變化,請求出BP的長度.

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①a=1;②若函數yx的增大而減小,則x的取值范圍一定是x<0;

若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有兩個實數解,則k的取值范圍是k>1;

M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函數圖象的四個不同點,且m1<m2<m3<m4,則有m2+m3﹣m1=m4.其中正確的結論有(  )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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1)求AB兩點的坐標;

2)若點DAB中點,延長DEx軸于點F,在ED的延長線上取點G,使DG=DF,連接BG

BGy軸的位置關系怎樣?說明理由; ②求OF的長;

3)如圖2,若點F的坐標為(1010),Ey軸的正半軸上一動點,P是直線AB上一點,且P的橫坐標為6,是否存在點E使△EFP為等腰直角三角形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,說明理由.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】在同一平面內,若點PABC三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形,則稱點PABC的巧妙點.

1)如圖1,求作ABC的巧妙點P(尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).

2)如圖2,在ABC中,∠A=80°AB=AC,求作ABC的所有巧妙點P (尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),并直接寫出∠BPC的度數是 .

3)等邊三角形的巧妙點的個數有(

A.2 B.6 C.10 D.12

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A. (2,-2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (2,2)

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(2)將向右平移6個單位,作出平移后的,并寫出各頂點的坐標;

(3)觀察,它們是否關于某直線對稱?若是,請用粗線條畫出對稱軸.

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