Question

已知，如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC=13，BC=24，PA∥BC，割線PBD過圓心，交⊙O于另一個點D，連接CD．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）求：⊙O的半徑及CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，設OA交BC于G．由AB=AC，得=，再由PA∥BC，則OA⊥PA，則PA是⊙O的切線．
（2）由（1）得BG=BC，根據勾股定理得出AG，設⊙O的半徑為R，則OG=R-5．再由勾股定理求得OG．因為BD是⊙O的直徑，則DC⊥BC，從而得出OG是△BCD的中位線．即可得出DC．
解答：（1）證明：連接OA，設OA交BC于G．
∵AB=AC，
∴=
∵OA過圓心O，
∴OA⊥BC．
∵PA∥BC，
∴OA⊥PA．
∴PA是⊙O的切線．（2分）

（2）解：∵AB=AC，OA⊥BC，
∴BG=BC=12．
∵AB=13，
∴AG=．（3分）
設⊙O的半徑為R，則OG=R-5．
在Rt△OBG中，∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²．
解得，R=16.9．（5分）
∴OG=11.9．
∵BD是⊙O的直徑，
∴DC⊥BC，又OG⊥BC，
∴OG∥DC，又O是BD中點，
∴OG是△BCD的中位線．
∴DC=2OG=23.8．（7分）
點評：本題考查了切線的判定和性質勾股定理以及三角形的中位線定理．