Question

已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M．

（1）求證：點P是線段AC的中點；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OM，

∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M，
∴PM=PA，OM⊥BC，BA⊥AC。
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°。
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°。
∵OB=OM，∴∠2=∠B。∴∠1=∠C。∴PC=PM。
又∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M，
∴PA=PM。∴PA=PC。
∴點P是線段AC的中點。
（2）在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴。
∴。
由（1）∠PMC=∠C，∴sin∠PMC= 。

試題分析：（1）連接OM，根據切線的性質得OM⊥BC，BA⊥AC，根據切線長定理得PM=PA，則∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，則PA=PC。
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根據勾股定理計算出BC=5，然后根據正弦的定義得到，于是得到sin∠PMC的值。