Question

（2012•柳州）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為

2 5

5

（即cosC=

2 5

5

），則AC邊上的中線長是

85

10

a或

5

10

a

．

Answer 1

分析：分兩種情況：①△ABC的內角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．這兩種情況，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD與直角△ABD，得到BC的長，再利用余弦定理求解．

解答：解：分兩種情況：
①如圖1．
作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=

2 5

5

，
∴CD=

2 5

5

a，AD=

5

5

a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=

5

5

a，
∴BC=BD+CD=

3 5

5

a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=

9

5

a²+

1

4

a²-2×

3 5

5

a×

1

2

a×

2 5

5

=

17

20

a²，
∴BE=

85

10

a；
②如圖2．
作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=

2 5

5

，
∴CD=

2 5

5

a，AD=

5

5

a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=

5

5

a，
∴BC=CD-BD=

5

5

a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=

1

5

a²+

1

4

a²-2×

5

5

a×

1

2

a×

2 5

5

=

1

20

a²，
∴BE=

5

10

a．
綜上可知AC邊上的中線長是

85

10

a或

5

10

a．
故答案為

85

10

a或

5

10

a．

點評：本題考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定難度，進行分類討論是解題的關鍵．