Question

（2012•柳州二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點D為弦BE上的點，連接OD并延長交⊙O于點F，與過B點的直線相交于點C．已知點E為弧AF的中點，OF=CF，AE∥OC．
（1）求證：BC是⊙O的切線．
（2）若弦BE=6，求CD．

Answer 1

分析：（1）連接BF．欲證BC是⊙O的切線，只需證明AB⊥BC即可；
（2）利用垂徑定理求得ED=BD；然后在直角△ODB和直角△OBC中利用特殊角的三角函數的定義求得OD、OC的長度；最后由線段間的和差關系來求CD線段的長度．

解答：（1）證明：連接BF．
∵AB為⊙O的直徑（已知）
∴∠E=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∵AE∥OD（已知），
∴∠ODB=90°，
∴ED=BD（垂徑定理），
∴弧EF=弧BF，
∵點E為弧AF的中點，
∴

AE

=

EF

=

FB

∴∠COB=60°．
∵OB=OF（⊙O的半徑0），
∴△0BF是等邊三角形（有一內角為60°的等腰三角形是等邊三角形），
∴BF=OF．
∵OF=CF（已知），
∴CF=BF=0F（等量代換），
∴∠CBF=

1

2

∠OFB=

1

2

x60°=30°（三角形外角定理）．
∵∠OBC=∠OBF+∠CBF=90°，
∴BC是⊙O的切線；


（2）解：∵OD⊥BE，
∴DB=DE（垂徑定理）．
∵BE=6，
∴BD=3．
∵∠COB=60°，
∴OD=

3

，OB=2

3

．
∵CB⊥OB，∠C=30°
∴OC=4

3

，
∴CD=OC-OD=3

3

．

點評：本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質．切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．