Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與點A，B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF．

（1）求證：∠ADP＝∠EPB；

（2）求∠CBE的度數；

（3）當△PFD∽△BFP時，求tan∠FPB．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）45°；（3）tan∠FPB=．

【解析】

（1）根據∠ADP與∠EPB都是∠APD的余角,根據同角的余角相等，即可求證;

（2）首先證得△PAD≌△EQP,可以證得△BEQ是等腰直角三角形,可以證得∠EBQ＝45°,即可證得∠CBE＝45°;

（3）先由△PFD∽△BFP,得出PDBF＝PBPF,再判斷出△DAP∽△PBF,得出PDBF＝APPF,進而得出PA＝PB,即可得出AD＝2PA,即可得出結論．

（1）證明:∵四邊形ABCD是正方形.

∴∠A＝∠PBC＝90°,AB＝AD,

∴∠ADP+∠APD＝90°,

∵∠DPE＝90°,

∴∠APD+∠EPB＝90°,

∴∠ADP＝∠EPB;

（2）解:過點E作EQ⊥AB交AB的延長線于點Q,則∠EQP＝∠A＝90°,

又∵∠ADP＝∠EPB,PD＝PE,

在△PAD與△EQP中,

,

∴△PAD≌△EQP（AAS）,

∴EQ＝AP,AD＝AB＝PQ,

∴AP＝EQ＝BQ,

∴∠CBE＝∠EBQ＝45°;

（3）∵△PFD∽△BFP,

∴ ,

∴PDBF＝PBPF,

∵∠ADP＝∠EPB,∠CBP＝∠A＝90°,

∴△DAP∽△PBF,

∴，

∴PDBF＝APPF,

∴PBBF＝APPF,

∴PA＝PB,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AD＝AB＝PA+PB＝2PA,

∴tan∠ADP＝，

∴tan∠FPB＝.