Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，與x軸交于另一點N，直線y=kx+b₁與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于B（1，3）、C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動點P（x，y），求△PON的面積最大值；
（3）若動點P保持（2）中的運動路線，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B、C的坐標代入直線表達式解方程組即可得解，把點B、C、O的坐標代入拋物線的解析式，解三元一次方程組求出a、b、c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）先根據拋物線的解析式求出點N的坐標，再根據三角形的面積公式可知，點P為拋物線的頂點時△PON底邊ON上的高最大，面積最大，求出點P的縱坐標，代入面積公式即可得解；
（3）先求出點A、D的坐標，再設點P的坐標為（x，-2x²+5x），根據三角形的面積公式列式得到關于x的一元二次方程，然后求出方程的解，再根據點P在x軸的上方進行判斷．
解答：解：（1）根據題意得，，
解得，
∴直線的解析式是y=-x+4，
根據圖象，拋物線經過點B（1，3）、C（2，2）、（0，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式是y=-2x²+5x；

（2）當y=0時，-2x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=，
∴點N的坐標是（，0），
∴點P的縱坐標越大，則△PON的面積越大，
當點P是拋物線的頂點時，△PON的面積最大，
此時===，
S_△PON最大=××=；

（3）當x=0時，y=4，
當y=0時，-x+4=0，解得x=4，
∴點A、D的坐標是A（0，4），D（4，0），
設點P的坐標是（x，-2x²+5x），則
×4x=××4×（-2x²+5x），
整理得，2x²+4x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
此時點P不在x軸的上方，不符合題意，
∴不存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法求直線與函數的解析式，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．