Question

（2012•成都模擬）智能手機如果安裝了一款測量軟件“Smart Measure”后，就可以測量物高、寬度和面積等．如圖，打開軟件后將手機攝像頭的屏幕準星對準腳部按鍵，再對準頭部按鍵，即可測量出人體的高度．其數學原理如圖②所示，測量者AB與被測量者CD都垂直于地面BC．
（1）若手機顯示AC=1m，AD=1.8m，∠CAD=60°，求此時CD的高．（結果保留根號）
（2）對于一般情況，試探索手機設定的測量高度的公式：設AC=a，AD=b，∠CAD=α，即用a、b、α來表示CD．（提示：sin²α+cos²α=1）

Answer 1

分析：（1）作CH⊥AD于點H．在Rt△ACH中，根據三角函數可求AH=

1

2

，CH=

3

2

．從而得到HD=1.3．再根據勾股定理得到CD的高
（2）同（1）可得，AH=acosα，CH=asinα．從而得到HD=b-acosα．再根據勾股定理得到CD的高．

解答：解：（1）作CH⊥AD于點H．
在Rt△ACH中，∵AC=1，∠CAH=60°，
∴AH=

1

2

，CH=

3

2

．
∵AD=1.8，
∴HD=1.3．
∴CD=

CH2+HD2

=

2.44

=

61

5

（m）；

（2）同上可得，AH=acosα，CH=asinα．
∵AD=b，
∴HD=b-acosα．
∴CD=

CH2+HD2

=

a2sin2α+(b-acosα)2

=

a2+b2-2abcosα

．

點評：考查了解直角三角形的應用，本題關鍵是熟悉三角函數、勾股定理的知識．