Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．點P是邊BC上一動點，作△PAB的外接圓⊙O交BD于E．

（1）如圖1，當PB＝3時，求PA的長以及⊙O的半徑；

（2）如圖2，當∠APB＝2∠PBE時，求證：AE平分∠PAD；

（3）當AE與△ABD的某一條邊垂直時，求所有滿足條件的⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）PA的長為，⊙O的半徑為；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為2或或

【解析】

（1）過點A作BP的垂線，作直徑AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的長，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的長，在Rt△AMP中通過銳角三角函數求出直徑AM的長，即求出半徑的值；

（2）證∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出結論；

（3）分三種情況：當AE⊥BD時，AB是⊙O的直徑，可直接求出半徑；當AE⊥AD時，連接OB，OE，延長AE交BC于F，通過證△BFE∽△DAE，求出BE的長，再證△OBE是等邊三角形，即得到半徑的值；當AE⊥AB時，過點D作BC的垂線，通過證△BPE∽△BND，求出PE，AE的長，再利用勾股定理求出直徑BE的長，即可得到半徑的值．

（1）如圖1，過點A作BP的垂線，垂足為H，作直徑AM，連接MP，

在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，

∴∠BAH＝30°，

∴BH＝AB＝2，AH＝ABsin60°＝2，

∴HP＝BP﹣BH＝1，

∴在Rt△AHP中，

AP＝＝，

∵AB是直徑，

∴∠APM＝90°，

在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，

∴AM＝＝＝，

∴⊙O的半徑為，

即PA的長為，⊙O的半徑為；

（2）當∠APB＝2∠PBE時，

∵∠PBE＝∠PAE，

∴∠APB＝2∠PAE，

在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD，

∴∠PAD＝2∠PAE，

∴∠PAE＝∠DAE，

∴AE平分∠PAD；

（3）①如圖3﹣1，當AE⊥BD時，∠AEB＝90°，

∴AB是⊙O的直徑，

∴r＝AB＝2；

②如圖3﹣2，當AE⊥AD時，連接OB，OE，延長AE交BC于F，

∵AD∥BC，

∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，

∴＝，

在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，

∴AF＝ABsin60°＝2，BF＝AB＝2，

∴＝，

∴EF＝，

在Rt△BFE中，

BE＝＝＝，

∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，

∴△OBE是等邊三角形，

∴r＝；

③當AE⊥AB時，∠BAE＝90°，

∴AE為⊙O的直徑，

∴∠BPE＝90°，

如圖3﹣3，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點N，延開PE交AD于點Q，

在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，

∴DN＝DCsin60°＝2，CN＝CD＝2，

∴PQ＝DN＝2，

設QE＝x，則PE＝2﹣x，

在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，

∴AE＝2QE＝2x，

∵PE∥DN，

∴△BPE∽△BND，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝10﹣x，

在Rt△ABE與Rt△BPE中，

AB2+AE2＝BP2+PE2，

∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，

解得，x1＝6（舍），x2＝，

∴AE＝2，

∴BE＝＝＝2，

∴r＝，

∴⊙O的半徑為2或或．