Question

如圖一，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：
①猜想如圖一中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；并證明你的結論。
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖三情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖二證明你的判斷．

Answer 1

（1）解：BG=DE  BG ⊥DE      
證明：∵四邊形ABCD 和四邊形CEFD 為正方形      
∴BC=CD  CG=CE   ∠BCG= ∠DCE=90°     
在△BCG 和△DCE 中      
=90°
△BCG≌△DCE（SAS）    
∴BG=DE   ∠CBG=∠CDE    
延長BG交DE于M
∵∠BGC=∠DGM（對頂角相等）
∴∠DMG=180°-∠CDE-∠DGM            
=180°-∠CBG-∠BGC            
=90°   
∴BG⊥DE(垂直的定義)      
（2）解：BG=DE  BG⊥DE      
∵四邊形ABCD和四邊形CEFD為正方形      
∴BC=CD  CG=CE  ∠BCD=∠GCE=90°      
∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG      
∴∠BCG=∠DCE               
在△BCG和△DCE中      
=90°
△BCG≌△DCE（SAS）
∴BG=DE   ∠CBG=∠CDE
∵∠BHC=∠DHO（對頂角相等）
∴∠DOH=180°-∠CDE-∠DHO            
=180°-∠CBG-∠BHC            
=90°      
∴BG⊥DE(垂直的定義)