Question

已知等腰三角形的周長為20，其中一內角的余弦值是

2

3

，求這個等腰三角形的腰長．

Answer 1

分析：分底角或頂角的余弦值是

2

3

來求解，①若底角的余弦值是

2

3

，易得AD與AB的關系，進而解可得AB的值，②若頂角的余弦值是

2

3

，設AB=x，通過解三角形可得BC的長，由周長為20，可得2x+

6

3

x=20，解可得x即腰長AB的值．

解答：解：如圖，等腰三角形ABC中，周長為20，
①若底角的余弦值是

2

3

，則cosB=

2

3

，
做AD垂直于BC，交BC于點D；
易得AB+BD=

1

2

（AB+AC+BC）=10，且

AD

AB

=

2

3

解可得：腰長AB=6，
②若頂角的余弦值是

2

3

，則cosA=

2

3

，
做BD垂直于AC，交AC于點D，
設AB=x，則AD=

2

3

x，由勾股定理可得BD=

5

3

x，
在Rt△BCD中，CD=x-

2

3

x=

1

3

x，BD=

5

3

x，
解可得：BC=

6

3

x；
又有AB+AC+BC=20，即2x+

6

3

x=20，
解可得x=12-2

6

．
答：腰長為6或12-2

6

．

點評：解題時，注意分情況討論，通過輔助線構造直角三角形來尋找思路．