Question

（2011•巢湖模擬）如圖，P為正方形ABCD的對稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從O出發沿OM方向以個單位每秒速度運動，運動時間為t．求：
（1）C的坐標為______；
（2）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數關系式；并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CE⊥x軸于E，易證得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出點C的坐標．
（2）RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則：
由于直線OP經過正方形的對稱中線，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO與△DMR相似，則有兩種情況：
①∠DRM=45°，此時DR∥y軸，即點R、D、H的橫坐標都相同，由此求出點H的坐標；
②∠RDM=45°，此時R、P重合，因此R、H的橫坐標相同，由此求出點H的坐標．
（3）①首先用t表示出PH的長，由于PH與y軸平行，可以PH為底、H、C的橫坐標差的絕對值為高求出S的表達式，即可得S、t的函數關系式；要注意的是在表示高的過程中，要分H在C點左側和H點在C點右側兩種情況討論．
②此題應分三種情況討論：
一、CR∥AB，此時R、M重合，可求出直線CD的解析式，聯立直線OP的解析式，即可求得M點（即R）的坐標，進而得到H點坐標和t的值，然后再將t代入①的函數解析式中即可得到S的值；
二、AR∥BC，三、BR∥AC，解法同上．
解答：解：（1）過C作CE⊥x軸于E；
由于四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
易證得△ABO≌△BCE，
則AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）；（2分）
同理可求，D（3，4）．

（2）由于P是正方形的對稱中心，由A（0，3），C（4，1），
可得P（2，2）；
則∠MOE=45°，又OR=t，OH=t，所以RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則：
①當∠MDR=45°時，R、P重合，此時R（2，2），故t=2，點H（2，0）；
②當∠DRM=45°時，DR∥y軸，此時R（3，3），故t=3，點H（3，0）；
所以當t=2或t=3時，△ANO與△DMR相似．

（3）①分兩種情況：
一、0＜t≤4，H在E點左側；
易知RH=t，HE=4-t，故S=RH•HE=t（4-t）=-t²+2t；
二、t＞4，H在E點右側；
易知RH=t，HE=t-4，故S=RH•HE=t（t-4）=t²-2t；
②若以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形，分三種情況：
一、CR∥AB；此時R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當x=y時，-3x+13=x，解得x=；
即M（即R）點橫坐標為，H（，0）；
故t=，代入S=-t²+2t（0＜t≤4）可得S=；
同理可求得：
二、AR∥BC時，t=，S=；
三、BR∥AC時，t=，S=；
綜合①②可得：
S=-t²+2t（0＜t≤4）；（1分）S=t²-2t（t＞4）．
當CR∥AB時，t=，（1分）S=；
當AR∥BC時，t=，S=；
當BR∥AC時，t=，S=．
點評：此題主要考查了正方形的性質，全等三角形、相似三角形的判定和性質，梯形的判定，圖形面積的求法等知識，同時還考查了分類討論思想在動點問題中的應用，難度較大．