Question

長方形OABC，O為平面直角坐標系的原點，OA=5，OC=3，點B在第三象限．
（1）求點B的坐標；
（2）如圖1，若過點B的直線BP與長方形OABC的邊交于點P，且將長方形OABC的面積分為1：4兩部分，求點P的坐標；
（3）如圖2，M為x軸負半軸上一點，且∠CBM=∠CMB，N是x軸正半軸上一動點，∠MCN的平分線CD交BM的延長線于點D，在點N運動的過程中，

∠D

∠CNM

的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據第三象限點的坐標性質得出答案；
（2）利用長方形OABC的面積分為1：4兩部分，得出等式求出AP的長，即可得出P點坐標，再求出PC的長，即可得出OP的長，進而得出答案；
（3）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM，得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為長方形，OA=5，OB=3，且點B在第三象限，
∴B（-5，-3）．

（2）若過點B的直線BP與邊OA交于點P，依題意可知：

1

2

×AB×AP=

1

5

×OA×OC，
即

1

2

×3×AP=

1

5

×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若過點B的直線BP與邊OC交于點P，依題意可知：

1

2

×BC×PC=

1

5

×OA×OC，
即

1

2

×5×PC=

1

5

×5×3，
∴PC=

6

5

∵OC=3，
∴OP=

9

5

，
∴P（0，-

9

5

）．
綜上所述，點P的坐標為（-3，0）或（0，-

9

5

）．

（3）延長BC至點F，
∵四邊形OABC為長方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
過點M作ME∥CD交BC于點E，
∴∠EMC=∠MCD．
又CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM=2∠D，
∴

∠D

∠CNM

=

1

2

．

點評：此題主要考查了平行線的性質以及矩形的性質、圖形面積求法等知識，利用數形結合得出的是解題關鍵．