Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過點A作AD⊥BP于點D，交直線BC于點Q．

（1）如圖1，當P在線段AC上時，求證：BP=AQ；
（2）如圖2，當P在線段CA的延長線上時，（1）中的結論是否成立？（不要求寫理由）
（3）在（2）的條件下，當∠DBA等于多少度時，存在AQ=2BD？說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中： ，
∴△ACQ≌△BCP（ASA）
∴BP=AQ
（2）解：成立
（3）解：由（2）可知，BP=AQ，故要使AQ=2BD，需使BP=2BD，即需AB=AP，就需∠DBA=∠P，結合∠DBA+∠P=∠BAC=45°可知，只需∠DBA=22.5°即可
【解析】（1）利用ASA可證明△ACQ≌△BCP，從而證出結論；
（2）畫出圖形可得結論；
（3）由（2）知BP=AQ，又AQ=2BD，則BP=2BD，即AB=AP，由等腰三角形的性質可得∠DBA=∠P，又∠DBA+∠P=∠BAC=45°，可得出∠DBA的度數.