Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．
（1）求證：△BDF≌△CDE；
（2）若AB=AC，求證：四邊形BFCE是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CE、BF的內錯角相等，可得出△CED和△BFD的兩組對應角相等；已知D是BC的中點，即BD=DC，由AAS即可證得兩三角形全等；
（2）若AB=AC，則△ABC是等腰三角形，而D是底邊BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質可證得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易證得四邊形BFCE的對角線互相平分；根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可判定四邊形BFCE是菱形．
解答：證明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；
又∵D是BC的中點，即BD=DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）

（2）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三線合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
則DE=DF，DB=DC；
∴四邊形BFCE是菱形（對角線互相平分且互相垂直的四邊形為菱形）．
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質及菱形的判定方法．