Question

如果拋物線的頂點在拋物線上，同時，拋物線的頂點在拋物線上，那么，我們稱拋物線與關聯。

(1)已知拋物線①，判斷下列拋物線②；③與已知拋物線①是否關聯，并說明理由。

(2)拋物線:，動點P的坐標為（t，2），將拋物線繞點P（t，2）旋轉得到拋物線，若拋物線與關聯，求拋物線的解析式。

(3)A為拋物線:的頂點，B為與拋物線關聯的拋物線頂點，是否存在以AB為斜邊的等腰直角，使其直角頂點C在軸上，若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

   (1) ∵拋物線①，其頂點坐標為M（-1，-2）.

     經驗算，點在拋物線②上，不在拋物線③上，所以，拋物線①與拋物線③不是關聯的； 拋物線②，其頂點坐標為(1，2)，經驗算點在拋物線①上，所以拋物線①、②是關聯的.   (3分)

(2)拋物線：的頂點的坐標為（-1，-2），因為動點的坐標為

（t，2），所以點在直線y = 2上，作關于的對稱點，分別過點、作直線y=2的垂線，垂足為、，則，所以點的縱坐標為6.    (1分)

當時，，解之得，，.

∴或.            (1分)

2.(1)設拋物線的拋物線為.

因為點在拋物線上，∴，.

∴拋物線的解析式為             (1分)

(2)設拋物線的拋物線為.

因為點在拋物線上，∴，.

∴拋物線的解析式為           ( 1分)

(3)點為軸上的一動點，以為腰作等腰直角△，令的坐標為，則點B的坐標分為兩類：

①當A，B，C逆時針分布時，如圖中B點，過A、B作y軸的垂線，垂足分別為H、F，則，∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，點B的坐標為（c+2，c-1）.

當點B在拋物線：上時，，解得c=1. (3分)

②當A，B，C順時針分布時，如圖中點，過作y軸的垂線，垂足為D，同理可得點的坐標為（-c-2，c+1）.

當點在拋物線：上時，，解得或.   (2分)

綜上所述，存在三個符合條件的等腰直角三角形，期中C點的坐標分別為，，.         (2分)