Question

如圖，已知∠AOB以O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于F、E兩點，再分別以E、F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線OP，過點F作FD∥OB交OP于點D．
（1）若∠OFD=116°，求∠DOB的度數；
（2）若FM⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD．

Answer 1

（1）解：∵OB∥FD，
∴∠0FD+∠A0B=18O°，
又∵∠0FD=116°，
∴∠A0B=180°-∠0FD=180°-116°=64°，
由作法知，0P是∠A0B的平分線
∴∠D0B=∠A0B=32°；

（2）證明：∵0P平分∠A0B，
∴∠A0D=∠D0B，
∵0B∥FD，
∴∠D0B=∠ODF，
∴∠A0D=∠ODF，
又∵FM⊥0D，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中，
∴△MFO≌△MFD（AAS）．
分析：（1）首先根據OB∥FD，可得∠0FD+∠A0B=18O°，進而得到∠AOB的度數，再根據作圖可知OP平分∠AOB，進而算出∠DOB的度數即可；
（2）首先證明∴∠A0D=∠ODF，再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF，再加上公共邊FM=FM可利用AAS證明△FMO≌△FMD．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定，以及角的計算，關鍵是正確理解題意，掌握角平分線的作法，以及全等三角形的判定定理．