Question

如圖（1），四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，使得S_△APD+S_△BPC=S_△PAB+S_△PCD，那么這樣的點(diǎn)P叫做四邊形ABCD的等積點(diǎn)．
（1）如果四邊形ABCD內(nèi)部所有的點(diǎn)都是等積點(diǎn)，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形．
①請(qǐng)寫出你知道的等積四邊形：________，________，________，________，（四例）
②如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，則S_△PCD=________．
（2）如圖（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直線l為等腰梯形的對(duì)稱軸，分別交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
①請(qǐng)?jiān)谥本�l上找到等腰梯形的等積點(diǎn)，并求出PE的長度．
②請(qǐng)找出等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點(diǎn)，并畫圖表示．

Answer 1

（1）①解
過O作EF⊥BC于F，交AD于E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∴S_△OAD+S_△OBC=×AD×OE+×BC×OF=BC×EF=S_{平行四邊形ABCD}，
同理S_△OAB+S_△OCD=S_{平行四邊形ABCD}，
∴S_△OAB+S_△OCD=S_△OAD+S_△OBC，
∴平行四邊形ABCD符合條件，
同理：正方形、矩形、菱形都符合，
故答案為：正方形、矩形、菱形、平行四邊形．

②解：∵四邊形ABCD是平行四邊形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，
∴S_△PCD+S_△PAB=S_△PAD+S_△PBC，
∴S_△PCD=7+15-8=14，
故答案為：14．

（2）①解：作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，
∵等腰梯形ABCD，
∴BR=TC=（BC-AD）=3，
由勾股定理得：AR=DT==4，
∴等腰梯形ABCD的面積是×（AD+BC）×AR=×（4+10）×4=28，
∴S_△PAD+S_△PBC=×28=14，
∴×AD×PE+×BC×（4-PE）=14，
解得：PE=2，
答：PE的長是2．

②解過P作HK∥AD交AB于H，交CD于K，
即作等腰梯形的中位線HK，
則等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點(diǎn)是線段HK上任意一點(diǎn)都符合（端點(diǎn)H、K除外），如圖．
分析：（1）①過O作EF⊥BC于F，交AD于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和 三角形的面積求出S_△OAD+S_△OBC=S_{平行四邊形ABCD}即可；②根據(jù)已知公式代入求出即可；
（2）①作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，根據(jù)勾股定理求出AR，計(jì)算等腰梯形的面積，根據(jù)已知得到∴×AD×PE+×BC×（4-PE）=14，求出即可；②根據(jù)求出的PE=2，計(jì)算PF=PE=2，根據(jù)梯形的中位線定理即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，三角形的中位線定理，勾股定理，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．