Question

26、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明；
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

分析：（1）可通過旋轉圖形構建全等三角形進行求證．把△AND繞點A順時針90°，得到△ABE，那么E，B，M三點共線，然后證得△AME和△AMN全等得出MN=ME，由于BE=AD，因此可證得MN=MB+DN；
（2）如圖，參照（1）中的求法，只不過證得△AME≌△AMN，可得MN=ME，進而可得到MN+BM=DN．

解答：解：（1）BM+DN=MN．
如圖，把△AND繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE，則可證得E，B，M三點共線，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=∠DAB-∠MAN=90°-45°=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
∵AM=AM，AN=AE，
∴△AEM≌△ANM，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN．
（2）參照（1）中求法，MN+BM=DN．

點評：平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等．巧妙的運用變換的基本性質或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢．