Question

觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結論．
（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP+PC______AB+AC（填“＞”、“＜”或“=”）
（2）將（1）中點P移到△ABC內，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．
（3）將（2）中點P變為兩個點P₁、P₂得圖③，試觀察比較四邊形BP₁P₂C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，

（2）△BPC的周長＜△ABC的周長．理由：
如圖，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長＜△ABC的周長，

（3）四邊形BP₁P₂C的周長＜△ABC的周長，理由：
如圖，分別延長BP₁、CP₂交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P₁P₂＜P₁M+P₂M，
可得，BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC，可得結論．
分析：（1）根據三角形中兩邊之和大于第三邊，即可得出結果，
（2）可延長BP交AC與M，根據兩邊之和大于第三邊，即可得出結果，
（3）分別延長BP₁、CP₂交于M，再根據（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出結果．
點評：本題考查了比較線段的長短常常利用三角形的三邊關系以及不等式的性質，通過作輔助線進行解答，難度較大．