Question

觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結論，并說明理由．
（1）如圖，△ABC中，P為邊BC上一點，試觀察比較BP+PC與AB+AC的大小，并說明理由．

（2）將（1）中點P移至△ABC內，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．

（3）將（2）中點P變為兩個點P₁、P₂得下圖，試觀察比較四邊形BP₁P₂C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．

（4）將（3）中的點P₁、P₂移至△ABC外，并使點P₁、P₂與點A在邊BC的異側，且∠P₁BC＜∠ABC，∠P₂CB＜∠ACB，得圖，試觀察比較四邊形BP₁P₂C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．

（5）若將（3）中的四邊形BP₁P₂C的頂點B、C移至△ABC內，得四邊形B₁P₁P₂C₁，如圖⑤，試觀察比較四邊形B₁P₁P₂C₁的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，或兩點之間線段最短．

（2）△BPC的周長＜△ABC的周長．理由：
如圖，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長＜△ABC的周長．

（3）四邊形BP₁P₂C的周長＜△ABC的周長．理由：
如圖，分別延長BP₁、CP₂交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P₁P₂＜P₁M+P₂M，可得，BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC，可得結論．
或：作直線P₁P₂分別交AB、AC于M、N（如圖），△BMP₁中，BP₁＜BM+MP₁，△AMN中，MP₁+P₁P₂+P₂M＜AM+AN，△P₂NC中，P₂C＜P₂N+NC，三式相加得：BP₁+P₁P₂+P₂C＜AB+AC，可得結論．

（4）四邊形BP₁P₂C的周長＜△ABC的周長．理由如下：將四邊形BP₁P₂C沿直線BC翻折，使點P₁、P₂落在△ABC內，轉化為（3）情形，即可．
（5）比較四邊形B₁P₁P₂C₁的周長＜△ABC的周長．理由如下：
如圖，分別作如圖所示的延長線交△ABC的邊于M、N、K、H，在△BNM中，NB₁+B₁P1+P₁M＜BM+BN，又顯然有，B₁C₁+C₁K＜NB₁+NC+CK，及C₁P₂+P₂H＜C₁K+AK+AH，及P₁P₂＜P₂H+MH+P₁M，將以上各式相加，得B₁P₁+P₁P₂+P₂C+B₁C₁＜AB+BC+AC，于是得結論．

分析：（1）、（2）、（3）通過作輔助線，利用三角形的第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差進行解答；
（4）通過將四邊形BP₁P₂C沿直線BC翻折，使點P₁、P₂落在△ABC內，轉化為（3）情形，從而問題得解；
（5）延長B₁P₁、C₁P₂分別與AB相交，再利用三角形的第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差進行解答．
點評：比較線段的長短常常利用三角形的三邊關系以及不等式的性質，通過作輔助線進行解答．