Question

如圖，等腰梯形ABCD，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC邊的中點為E．
（1）判斷△ADE的形狀（簡述理由），并求其周長．
（2）求AB的長．
（3）DE是否垂直平分AC？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的性質可求出AE及DE的長，故可得出結論；
（2）先根據全等三角形的判定定理得出△AEB≌△DEC，所以∠AEB=∠DEC，由∠AED=60°可知∠AEB=∠DEC=60°，再由AE=BE可知∠BAE=∠ABE，故可得出△ABE是等邊三角形，進而得出AB的長；
（3）先根據AD∥BC，AD=CE可知四邊形AECD是平行四邊形，再由AE=CE可知四邊形AECD是菱形，故可得出結論．

解答：解：（1）∵BC=2AD=4cm，
∴AD=2cm，
∵BD⊥CD，AC⊥AB，E是BC的中點，
∴AE=DE=

1

2

BC=

1

2

×4=2cm，
∴AD=AE=CE，即△ADE是等邊三角形；

（2）在△AEB與△DEC中，
∵

AB=CD AE=DE BE=CE

，
∴△AEB≌△DEC，
∴∠AEB=∠DEC，
∵∠AED=60°，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE=∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=AE=2cm；

（3）∵BC∥AD，BC=2AD=4cm，E是BC的中點，
∴AD=CE=2cm，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴四邊形AECD是菱形，
∴DE垂直平分AC．

點評：本題考查的是等腰梯形的性質，涉及到平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、等邊三角形的判定定理等知識，難度適中．