Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高．∠BAF=∠CAG=90°，且AB=AF=AC=AG．連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF．下列結論：①∠FAG+∠BAC=180°；②BG=CF；③BG⊥CF；④∠EAF=∠ABC．其中一定正確的個數是（　　）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用周角及∠BAF=∠CAG=90°，可推得①正確；易證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得②正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內角和與對頂角，可判斷③正確；利用等腰三角形三線合一性質及互余關系可推得④正確．

解：∵∠BAF=∠CAG=90°，

∴∠FAG+∠BAC=360°-90°-90°=180°，故①正確；

∵∠BAF=∠CAG=90°

∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB

又∵AB=AF=AC=AG，

∴△CAF≌△GAB（SAS），

∴BG=CF，故②正確；

∵△FAC≌△BAG

∴∠FCA=∠BGA

又∵BC與AG所交的對頂角相等

∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°

∴BG⊥CF，故③正確；

∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD

∴∠EAF=∠CAG

∵∠EAF+∠BAD=∠ABC+∠BAD=90°

∴∠EAF=∠ABC，故④正確．

故選：A．