Question

（2007•大連）如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D₁，E₁，F₁分別是△ABC三邊上的點，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，連接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面積S₁=，△D₁E₁F₁的面積S₁′=；
（2）當D₂，E₂，F₂分別是等邊△ABC三邊上的點，且AD₂=BE₂=CF₂=AB時，如圖②，求△AD₂F₂的面積S₂和△D₂E₂F₂的面積S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，當D_n，E_n，F_n分別是等邊△ABC三邊上的點，且AD_n=BE_n=CF_n=AB時（n為正整數），求△AD_nF_n的面積S_n，△D_nE_nF_n的面積S_n′．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件，可以知道圖中四個小三角形都是全等的等邊三角形，所以面積相等，每個都是全部的；
（2）與上問比較，發現分點的位置由原來的二等分點變成了現在的三等分點，同樣易證中間的小三角形是等邊三角形，而其余的三個全等，從而得出結果；
（3）與上問比較，只是分點的位置由原來的三等分點變成了（n+1）等分點，所以做法與（2）完全一樣．
解答：解：（1）設等邊△ABC的邊長是a，
∵AD₁=AF₁，∠A=60°，
∴△AD₁F₁是等邊三角形，
同理其余三個三角形都是等邊三角形，
∴△AD₁F₁≌△BE₁D₁≌△CF₁E₁≌△D₁E₁F₁，
∴S₁=S，S₁'=S．

（2）設△ABC的邊長為a，則△AD₂F₂的面積，
又因為△ABC的面積，所以S₂=S，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD₂=BE₂=CF₂，AF₂=BD₂=CE₂，
由“SAS”得出△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，
∴S₂′=S-3S₂=S-3×S=S．

（3）設△ABC的邊長是a，
則S_n=•a•a•sin60°=S，
同理證明△AD_nF_n≌△BE_nD_n≌△CF_nE_n，
∴S_n′=S-3×S=S．
點評：做有規律的題目時，在由特殊到一般的過程中，要善于抓住不變量，找到解題途徑．此題比較難，要求學生有比較好的分析問題、解決問題的能力．