Question

已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連結OP，弦CB//OP，直線PB交直線AC于點D，BD=2PA．
【小題1】證明：直線PB是⊙O的切線；
【小題2】探索線段PO與線段BC之間的數量關系，并加以證明；
【小題3】求sin∠OPA的值．

Answer 1

【小題1】連結OB．∵BC//OP，      ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，   ∴∠POB=∠POA．
又∵PO=PO，OB=OA，           ∴△POB≌△POA．
∴∠PBO=∠PAO=90°．          ∴PB是⊙O的切線．
【小題1】2PO=3BC（寫PO=BC亦可）．
證明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．
∴．∴2PO=3BC．
注：開始沒有寫出判斷結論，正確證明也給滿分．

【小題1】∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．
設OA=x，PA=y．則OD=3x，DB=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2 x²= y²．
∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．
∴sin∠OPA=．解析:
根據切線定理證明圓的切線，有關計算的依據是三角形相似和勾股定理。