Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分線BD交AC于點D，點E是線段AB上的一點，以BE為直徑的圓O過點D．
（1）求證：AC是圓O的切線；
（2）求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證OD⊥AC即可；由于OB=OD，且BD平分∠ABC，利用角平分線的定義以及等邊對等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD，由此可證得OD∥BC，而BC⊥AC，即OD⊥AC，由此得證．
（2）根據∠DAO的正切值，可求出AD、OD的比例關系，可用未知數表示出兩者的長，進而可求得BE、AE的表達式，由于AE+BE=AB=5，由此可求出未知數的值，也就得到了AE的長．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OD⊥AC；
又∵點D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3，則AB=5；
在Rt△AOD中，設AD=4x，則OD=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AE=OA-OE=2x，
由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x=，
∴AE=2x=．
點評：此題主要考查了切線的判定方法，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．