Question

若以一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊所在直線為對(duì)稱(chēng)軸，把這個(gè)三角形進(jìn)行翻折，則稱(chēng)所得的四邊形為準(zhǔn)菱形．
（1）如圖，在以對(duì)角線AC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的準(zhǔn)菱形ABCD中，BD平分∠ABC，求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）有同學(xué)說(shuō)“如果在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC，AC平分BD，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形”，你認(rèn)為這種說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)給出證明；如果不正確，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

（1）證明：∵AC是準(zhǔn)菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△ABO和△CBO中，
∵，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）；

（2）不正確，例如：箏形ABCD，滿足∠ABC=∠ADC，AC平分BD，但不是平行四邊形．

分析：（1）根據(jù)AC是對(duì)稱(chēng)軸可得OB=OD，AC⊥BD，再根據(jù)BD平分∠ABC可得∠ABO=∠CBO，利用“角邊角”證明△ABO和△CBO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OA=OC，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；
（2）從兩底邊相等的等腰三角形，底邊重合組成的四邊形滿足要求但不一定是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，主要利用了對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，（2）從等腰三角形的兩底角相等考慮舉反例．