Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為劣弧

AC

上一點，DE⊥AB于點H，交⊙O于點E，交AC于點F，P為ED的延長線上一點．
（1）當△PCF滿足什么條件時，PC與⊙O相切．為什么？
（2）當點D在劣弧

AC

的什么位置時，才能使AD²=DE•DF．為什么？

Answer 1

分析：（1）PC與⊙O相切時，OC⊥PC，根據已知可得到此時PC=PF或∠PCF=∠PFC或△PCF為等邊三角形；
（2）要使AD²=DE•DF，則有△DAF∽△DEA，根據已知即可求得此時點D在弧AC的中點．

解答：解：（1）當PC=PF（∠PCF=∠PFC或△PCF為等邊三角形）時，PC與⊙O相切．
連接OC，則∠OCA=∠FAH
∵PC=PF
∴∠PCF=∠PFC=∠AFH
∵DE⊥AB于H
∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC
∴PC與⊙O相切

（2）當點D是弧AC的中點時，AD²=DE•DF．
連接AE
∵弧AD=弧CD
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADF=∠EDA
∴△DAF∽△DEA
∴

AD

DE

=

DF

AD

即AD²=DE•DF．

點評：此題主要考查相似三角形的判定及切線的判定的綜合運用．